ویژگی بنیادی مثلثات

لینک دانلود خرید پایین توضیحات

فرمت word  قابل ویرایش پرینت

تعداد صفحات: 27

تعاریف ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

اندازه کمان حسب رادیان، دایره مثلثاتی

دانش‌اموزان اولین چیزی که مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند است که شناسه‌های (متغیرهای) توابع عبارت اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهی اوقات نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی تعمیم داده می‌شود. بررسی دانش‌اموزان کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه ان‌ها ممکن است حسب هر عددی درجات منفی مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. حقیقت تقسیم یک دور دایره 360 قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است. اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت اندازه یک زاویه مرکزی است. زاویه کمانی نگاه می‌کند که طول برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه حسب رادیان عبارت نسبت طول کمان مقابل زاویه شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان اندازه دوار زاویه می‌گویند. انجا که محیط دایره‌ای شعاع واحد برابر است اینرو طول کمان برابر رادیان خواهد بود. نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- کمانی اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر می‌نویسیم:

اگر باشد انگاه خواهیم داشت.

مثال 2-1-1 کمانی اندازه رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر باشد انگاه

2- دایره مثلثاتی. ملاحظه اندازه یک کمان چه حسب درجه چه برحسب رادیان اگاهی جهت مسیر کمان نقطه مبدا A1 نقطه A2 حائز اهمیت است. مسیر کمان نقطه مبدا نقطه مقصد جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولا مثبت نظر گرفته می‌شود. حالیکه جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولا انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی عنوان نقطه مبدا اختیار می‌شود. نقطه مبدا دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B دایره بترتیب مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی S نشان می‌دهیم. طبق انچه که ذکر شد چنین داریم:

3- پیچش محور حقیقی دور دایره مثلثاتی. تئوری توابع مثلثاتی نگاشت R مجموعه اعداد حقیقی دایره مثلثاتی که شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی ایفا می‌کند:

عدد t=0 محور اعداد حقیقی نقطه : A می‌شود.

اگر باشد انگاه دایره مثلثاتی نقطه عنوان نقطه مبدا کمان AP1 نظر گرفته محیط دایره مسیری طول T جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد مسیر Pt نشان داده عدد t نقطه Pt دایره مثلثاتی می‌کنیم. عبارت دیگر نقطه Pt تصویر نقطه A=P0 خواهد بود وقتی که مختصاتی حول مبدا مختصاتی اندازه t رادیان چرخانده شود.

اگر باشد انگاه شروع نقطه A محیط دایره جهت منفی، مسیری طول مشخص می‌کنیم. فرض کنید که Pt نقطه مقصد مسیر نشان دهد نقطه‌ای متناظر عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P نکته می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی جهت مثبت S می‌خوابد؛ حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی جهت منفی S می‌خوابد. نگاشت بک‌بیک نیست: اگر عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد انگاه نقطه اعداد متناظر خواهد بود:

در حقیقت افزودن مسیری طول (در جهت مثبت جهت منفی) مسیری طول t مجددا نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون کامل P-1(Pt) نقطه Pt مجموعه تطابق دارد.

توجه: عدد t معمولا نقطه pt که متناظر عدد است یکی نظر گرفته می‌شود، حال مسائل باید موضوع مطروحه توجه کرد.

مثال4-1-1- همه اعداد که متناظر نقطه مختصات است تحت نگاشت P بدست اورید.

حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا S قرار دارد:

فرض می‌کنیم که Y,X پای عمودهای مرسوم نقطه F محورهای مختصاتی OX OY باشند (شکل 3). انگاه بوده XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود: بدین ترتیب اندازه کمان AF برابر بوده نقطه F فقط اعداد متناظر می‌شود.

یک تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ اینصورت که اساس دوره تناوب T ازاء هر عددی بصورت که صورت یک عدد صحیح است تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود. کوچکترین دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب دوره تناوب بنیادی می‌نامند.

قضیه1-1. توابع دوره تناوب بنیادی متناوب هستند.

قضیه 2-1. توابع دوره‌ تناوب بنیادی متناوب هستند.